🐱 Diketahui Bahwa 1 1 3

^{Berikutini adalah Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SIMAK UI Tahun 2013 dengan kode soal 333. Jika kalian ingin download soalnya aja terlebih dahulu, silahkan.} ^{Ayo, persiapkan dirimu sejak dini dalam menghadapi UTBK 2021! Lihat latihan soal tryout UTBK Episode 1 tahun 2021 untuk mata pelajaran Matematika IPA. — Sudah mengikuti tyout UTBK 1 dari ruanguji? Nah, masih penasaran mengenai pembahasan soal-soalnya? Yuk, lihat latihan soal tryout UTBK Episode 1 tahun 2021 untuk mata pelajaran Matematika IPA berikut ini. Jangan lupa untuk mempelajari lagi materi yang belum kamu kuasai ya. 1. Suatu perusahaan memproduksi x unit barang dengan biaya ribu rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga untuk tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah …. Pembahasan Misalkan fx menyatakan total biaya produksi x unit barang, g x menyatakan harga jual x unit barang dalam satuan ribu rupiah, dan hx menyatakan kentungan yang diperoleh atas penjualan x unit barang, maka diperoleh hasil-hasil sebagai berikut. Agar maksimum, nilai turunan pertama hx harus bernilai 0. Maka Diperoleh x = -1 atau x = 2. Karena x menyatakan jumlah barang dan nilainya tidak mungkin negatif atau pecahan, sehingga x yang diambil adalah x = 2. Dilakukan substitusi x = 2 ke hx, didapat Maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah Jadi, jawabannya adalah B. 2. Sebuah balok memiliki panjang rusuk AB = 6 dan BC = CG = 4. Jika titik P terletak di tengah rusuk AB dan θ adalah sudut antara EP dan PG, maka nilai cosθ adalah …. Pembahasan Perhatikan gambar berikut ini! Perhatikan bahwa Sehingga Jadi, jawabannya adalah E. 3. Himpunan bilangan real x pada selang yang memenuhi memiliki bentuk Nilai dari adalah …. Pembahasan Perhatikan bahwa Pembuat nolnya adalah Maka didapat nilai-nilai x yang memenuhi adalah Didapat garis bilangannya sebagai berikut. Karena tanda pertidaksamaannya adalah maka didapat solusinya adalah Sehingga intervalnya adalah Akibatnya, Jadi, jawabannya adalahA. 4. Diketahui sebuah segitiga ABC dengan sudut B adalah 1050 dan sudut A adalah 150. Jika panjang AC adalah 5, maka panjang BC adalah …. Pembahasan Perhatikan gambar berikut ini! Dari gambar tersebut, didapat Dengan menggunakan aturan sinus, Jadi, jawabannya adalah E. 5. Diketahui vektor-vektor dan . Jika maka interval x yang memenuhi adalah …. Pembahasan Dari soal diketahui bahwa Maka Kemudian, karena , maka sehingga Lalu perhatikan bahwa dan juga Karena Sehingga didapat Pembuat nol dari bentuk di ruas kiri adalah Didapat garis bilangan sebagai berikut. Karena tanda pertidaksamaannya adalah maka solusinya adalah Namun, karena pada soaldiketahui maka diambil irisannya, yaitu Sehingga, interval x yang memenuhi adalah Jadi, jawabannya adalah B. 6. 25 26 27 576 676 Pembahasan Dengan menggunakan sifat-sifat pada eksponen, diperoleh sehingga Dengan demikian, kita peroleh Jadi, jawaban yang tepat adalah B. 7. Diketahui sistem persamaan Jika sistem persamaan tersebut memiliki tepat satu penyelesaian, maka jumlah semua nilai m yangmungkin adalah …. – 32 – 20 – 16 – 8 – 4 Pembahasan Penyelesaian sistem persamaan pada soal dapat diselesaikan sebagai berikut. Karena sistem persamaan di atas meiliki tepat satu penyelesaian, maka nilai Sehingga Maka jumlah semua nilai m adalah -8. Jadi, jawaban yang tepat adalah D. 8. – 2 – 6 0 2 6 Pembahasan Ingat kembali beberapa sifat yang berlaku pada integral, yaitu Dengan menggunakan kedua sifat tersebut, diperoleh Dengan demikian, Jadi, jawaban yang tepat adalah B. 9. Pembahasan Perhatikan bahwa Dengan demikian, Jadi, jawaban yang tepat adalah E. 10. Jika digeser sejauh a satuan ke kanan dan sejauh b satuan ke bawah, kemudian dicerminkan terhadap sumbu-y , bayangannya menjadi Nilai dari 3ab adalah …. – 15 – 12 – 10 – 6 0 Pembahasan Garis digeser sejauh a satuan ke kanan dan sejauh b satuan ke bawah, maka sehingga dan Dengan substitusi dan ke , maka bayangan garis hasil pergeseran diatas adalah Kemudian garis tersebut dicerminkan terhadap sumbu-y, maka Dengan substitusi ke , maka hasil pencerminan garis terhadap sumbu-y adalah Dengan demikian, kita peroleh Jadi, jawaban yang tepat adalah C. 11. Diketahui sistem persamaan berikut. Jika maka nilai dari adalah …. Pembahasan Kita tuliskan dua persamaan yang ada pada soal, yaitu sebagai berikut. dan Eliminasi dengan cara berikut. Oleh karena itu, didapat nilai sebagai berikut. Dengan demikian, nilai dari adalah sebagai berikut. Jadi, jawaban yang tepat adalah D. 12. Sebuah lingkaran memiliki pusat p, q dengan jari-jari 12, dan menyinggung garis Nilai yang mungkin adalah …. Pembahasan Diketahui bahwa suatu lingkaran memiliki pusat p, q, jari-jari 12, dan menyinggung garis . Oleh karena itu, didapat sebagai berikut. Kemudian, garis dapat dituliskan sebagai Didapat nilai a, b, dan c sebagai berikut. a = 5 b = 12 c = – 13 Selanjutnya, dapat diperhatikan perhitungan di bawah ini. Terdapat dua kemungkinan yaitu Kemungkinan pertama Kemungkinan kedua Dengan demikian, nilai yang mungkin adalah -143 dan 169. Jadi, jawaban yang tepat adalah D. 13. Suku banyak habis dibagi dan dibagi bersisa 20. Nilai ab adalah …. – 16 – 4 4 8 16 Pembahasan Dapat diperhatikan pembagian polinomial berikut ini. Oleh karena itu, didapat persamaan berikut. Kemudian, diketahui bahwa Oleh karena itu, substitusi dan Dikarenakan . Akibatnya, diperoleh nilai ab sebagai berikut. Dengan demikian, nilai ab = 16. Jadi, jawaban yang tepat adalah E. 14. Seorang berkendara dengan kecepatan 100 km/jam selama satu jam pertama. Pada jam kedua, kecepatan berkurang menjadi seperlimanya. Demikian juga pada jam berikutnya. Jarak terjauh yang dapat ditempuh orang tersebut adalah … km. 150 125 100 75 50 Pembahasan Dapat diperhatikan bahwa jarak yang ditempuh oleh seseorang pada jam pertama adalah 100 km. Kemudian, diketahui bahwa kecepatannya berkurang pada jam kedua. Akibatnya, jarak yang ditempuh orang tersebut pada jam kedua adalah Begitupun seterusnya sehingga jarak yang ditempuh orang tersebut dapat dituliskan sebagai berikut. Jarak yang ditempuh oleh seseorang tersebut membentuk deret geometri tak hingga dengan a = 100 dan r = sehingga dapat dituliskan sebagai berikut. Oleh karena itu, jarak terjauh yang dapat ditempuh orang tersebut adalah 125 km. Jadi, jawaban yang tepat adalah B. 15. Garis dirotasi searah jarum jam sebesar 1800 terhadap titik asal. Kemudian, digeser ke bawah sejauh b satuan dan ke kiri sejauh a satuan sehingga bayangannya menjadi . Nilai adalah …. Pembahasan Ingat bahwa jika suatu benda dirotasi sebesar searah jarum jam, maka sudut rotasinya diberi tanda negatif, sehingga menjadi Diketahui bahwa garis dirotasi sebesar 1800 searah jarum jam terhadap titik asal, maka bayangannya adalah sebagai berikut. Oleh karena itu, didapat nilai x dan y sebagai berikut. Akibatnya, garis menjadi Kemudian, digeser ke bawah sejauh b satuan dan ke kiri sejauh a satuan atau dapat dituliskan sebagai Didapat nilai x dan y berikut ini Akibatnya, garis menjadi Diketahui pada soal bahwa sama dengan Didapat dan Oleh karena itu, nilai dapat dihitung dengan cara sebagai berikut Dengan demikian, nilai Jadi, jawaban yang tepat adalah A. 16. maka nilai dari adalah …. Pembahasan Diketahui maka didapat Selanjutnya diketahui maka didapat Sehingga didapat Oleh karena itu didapat Dengan demikian, nilai dari adalah 0. Jadi, jawaban yang tepat adalah C. 17. Misalkan fungsi f memenuhi untuk setiap Jika maka nilai dari adalah …. – 3 3 – 5 6 – 6 Pembahasan Ingat bahwa Jika f periodik dengan periode p, maka Suatu fungsi f adalah periodik jika terdapat suatu bilangan p sedemikian sehingga Karena periodik dengan periode 4. Sehingga berlaku Dengan menggunakan sifat integral di atas, maka Dengan demikian, nilai dari adalah 6. Jadi, jawaban yang tepat adalah D. 18. Dari angka-angka 1, 4, 5, 6, 8, 9 akan dibentuk bilangan genap yang terdiri dari 3 digit berbeda. Banyak bilangan yang terbentuk yang nilainya kurang dari 400 adalah …. 30 20 12 9 8 Pembahasan Diketahui angka-angka 1, 4, 5, 6, 8, 9. Misalkan bilangan yang akan dibentuk adalah a1a2a3. a1 adalah angka yang menempati ratusan, a2 adalah angka yang menempati puluhan, dan a3 adalah angka yang menempati satuan. Karena akan dibentuk bilangan genap, maka banyak angka yang menempati satuan yaitu a3 ada 3 angka 4, 6, 8 Kemudian bilangan yang dibentuk nilainya kurang dari 400, maka banyak angka yang menempati ratusan yaitu a1 ada 1 angka 1 Selanjutnya perhatikan bahwa bilangan terdiri dari 3 digit berbeda, maka banyak angka yang menempati puluhan yaitu a2 ada 4 angka yang tersisa Sehingga didapat Dengan demikian, banyak bilangan yang terbentuk yang nilainya kurang dari 400 adalah 12. Jadi, jawaban yang tepat adalah C. 19. Diketahui barisan aritmetika dengan Uk menyatakan suku ke-k. Jika Uk+2 = U2 + kU17 – 3, maka U1+U13 +U19+U35= …. Pembahasan Perhatikan bahwa Sehingga didapatkan Dengan demikian, Jadi, jawaban yang tepat adalah E. 20. Suku banyak dibagi bersisa Nilai dari adalah …. 32 48 – 26 – 48 – 52 Pembahasan Perhatikan bahwa Selanjutnya perhatikan pembagian berikut ini. Diketahui maka Sehingga didapatkan dan Dengan demikian, Jadi, jawaban yang tepat adalah A. UTBK memang masih akan dilaksanakan tahun depan, tapi nggak ada salahnya untuk kamu mencuri start dan mulai mempersiapkan diri sejak dini. Mau mengukur kemampuanmu dalam mengerjakan soal-soal UTBK? Tunggu tryout UTBK Episode 2 dari ruanguji!} ^{jikamenemukan soal seperti ini maka pertama kita harus ingat terlebih dahulu misalkan kita punya persamaan matriks yang isinya adalah matriks A dikali matriks X B = matriks b maka matriks X itu sama dengan invers dari matriks A dikalikan dengan matriks B kemudian misalkan kita punya matriks A yang isinya adalah a b c d dan matriks B yang isinya adalah efgh maka invers dari matriks A itu adalah 1 atau terminal matriks A dikalikan dengan matriks yang isinya D min b min c dan a dengan} BerandaDiketahui bahwa 1 + 2 1 1 + 3 1 ...PertanyaanDiketahui bahwa 1 + 2 1 1 + 3 1 1 + 4 1 1 + 5 1 ⋯ 1 + n 1 = 11 . Berapakah nilai n yang memenuhi ? b. Amati pola perkalian beberapa bilangan bahwa . Berapakah nilai yang memenuhi ? b. Amati pola perkalian beberapa bilangan awal. ... ... GAMahasiswa/Alumni Universitas Galuh CiamisPembahasanPola bilangannya ; pembilang dikali dengan n+1 dan penyebut habis dibagi dengan pembilang n+1, kecuali penyebut awal yaitu 2Pola bilangannya ; pembilang dikali dengan n+1 dan penyebut habis dibagi dengan pembilang n+1, kecuali penyebut awal yaitu 2 Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher di sesi Live Teaching, GRATIS!92Yuk, beri rating untuk berterima kasih pada penjawab soal!©2023 Ruangguru. All Rights Reserved PT. Ruang Raya Indonesia

Buktikanbahwa: 1 3 + 2 3 + 3 3 + + n 3 = ¼n 2 (n + 1) 2 1. Tunjukkan kebenarannya untuk n=1 1 3 = ¼ × 1 2 × 2 2 Benar. 2. Asumsikan benar untuk n=k 1 3 + 2 3 + 3 3 + + k 3 = ¼k 2 (k + 1) 2 Benar (Asumsi!) Jawaban: Sekarang, buktikan kebenarannya untuk "k+1" 1 3 + 2 3 + 3 3 + + (k + 1) 3 = ¼(k + 1) 2 (k + 2) 2 ?

^{Vektor merupakan salah satu materi matematika peminatan mathematics- extended/further yang dipelajari oleh siswa kelas X jurusan MIPA Tingkat SMA. Secara singkat, vektor merupakan besaran yang memiliki nilai sekaligus arah. Kadang vektor juga disebut sebagai garis berarah garis yang memiliki panah, di mana panjang garis mewakili nilai vektor, sedangkan panah mewakili arah vektor. Untuk memperkuat pemahaman konsep tentang vektor, berikut disajikan sejumlah soal dan pembahasannya. Semoga bermanfaat dan dapat dijadikan sumber pembelajaran. Unduh soal di tautan berikut Download PDF. Today Quote Ketika yang lain bisa berlari, janganlah iri karena dirimu hanya bisa berjalan. Bersyukurlah sebab ada yang hanya bisa merangkak demi sampai ke garis finis. Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1 Diketahui vektor $\vec a = \widehat{i}+2\widehat{j}-3\widehat{k}$, $\vec b = 3\widehat{i}+5\widehat{k}$, $\vec c=-2\widehat{i}-4\widehat{j}+\widehat{k}$, dan $\vec u= 2 \vec a + \vec b- \vec c$. Vektor $\vec u$ adalah $\cdots \cdot$ A. $5\widehat{i}+6\widehat{j}+\widehat{k}$ B. $3\widehat{i}-2\widehat{j}-2\widehat{k}$ C. $2\widehat{i}-2\widehat{j}$ D. $7\widehat{i}+8\widehat{j}-2\widehat{k}$ E. $7\widehat{i}-8\widehat{j}-2\widehat{k}$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} \vec a & = 1,2,-3 \\ \vec b & = 3,0,5 \\ \vec c & = -2,-4,1 \end{aligned}$ Dengan demikian, $$\begin{aligned} \vec u & = 2 \vec a + \vec b-\vec c \\ & = 21,2,-3+3,0,5-2,-4,1 \\ & = 2,4,-6+3,0,5+2,4,-1 \\ & = 2+3+2,4+0+4,-6+5-1 \\ & = 7,8,-2 \end{aligned}$$Jadi, vektor $\vec u$ adalah $\boxed{7\widehat{i} + 8\widehat{j}-2\widehat k}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 2 Diketahui $A1,2,3,B3,3,1$, dan $C7,5,-3$, Jika $A,B$, dan $C$ segaris kolinear, maka $\vec{AB} \vec{BC}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $1 2$ D. $5 7$ B. $2 1$ E. $7 5$ C. $2 5$ Pembahasan Karena $A, B, C$ segaris, maka vektor yang dibentuk oleh dua dari tiga titik itu akan saling berkelipatan memiliki perbandingan. Dari koordinat titik yang diberikan, diketahui $\begin{aligned} \vec{AB} & = B-A = 3,3,1-1,2,3 \\ & =2,1,-2 \\ \vec{BC} & = C-B = 7,5,-3-3,3,1 \\ & = 4,2,-4 \end{aligned}$ Dengan demikian, $\begin{aligned} \dfrac{\vec {AB}}{\vec {BC}} & = \dfrac{2,1,-2}{4,2,-4} \\ & = \dfrac{\cancel{2,1,-2}}{2\cancel{2,1,-2}} = \dfrac12 \end{aligned}$ Jadi, $\boxed{\vec{AB} \vec{BC} = 1 2}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 3 Diketahui bahwa $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-3 \end{pmatrix}, \vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ m \end{pmatrix}$, dan $\vec{c}= \begin{pmatrix} 3 \\-4 \\ 5 \end{pmatrix}$. Jika $\vec{a} \perp \vec{b}$, maka hasil dari $\vec a + 2 \vec b-\vec c = \cdots \cdot$ A. $\begin{pmatrix} 6 \\ 14 \\ 0 \end{pmatrix}$ D. $\begin{pmatrix} 6 \\ 14 \\ 12 \end{pmatrix}$ B. $\begin{pmatrix} 6 \\ 14 \\ 6 \end{pmatrix}$ E. $\begin{pmatrix} 6 \\ 14 \\ 14 \end{pmatrix}$ C. $\begin{pmatrix} 6 \\ 14 \\ 10 \end{pmatrix}$ Pembahasan Karena $\vec a \perp \vec b$ saling tegak lurus, maka $\vec a \bullet \vec b = 0$ sehingga ditulis $\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-3 \end{pmatrix} \bullet \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ m \end{pmatrix} & = 0 \\ 14 + 24 + -3m & = 0 \\ 4+8-3m&=0 \\-3m&=-12 \\ m &=4 \end{aligned}$ Dengan demikian, $$\begin{aligned} \vec a + 2 \vec b- \vec c & = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-3 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ m \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 3 \\-4 \\ 5 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 1+8-3 \\ 2+8-4 \\-3+8-5 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 6 \\ 14 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\boxed{\vec a + 2 \vec b-\vec c = \begin{pmatrix} 6 \\ 14 \\ 0 \end{pmatrix}}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 4 Diketahui vektor $\vec a= \widehat{i}+2\widehat{j}-x\widehat{k}$, $\vec b = 3\widehat{i}-2\widehat{j}+\widehat{k}$, dan $\vec c= 2\widehat{i}+\widehat{j}+2\widehat{k}$. Jika $\vec a \perp \vec c$, maka nilai dari $\vec a + \vec b \bullet \vec a-\vec c$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-4$ C. $0$ E. $4$ B. $-2$ D. $2$ Pembahasan Diketahui $\vec a = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-x \end{pmatrix}~~~~\vec b = \begin{pmatrix} 3 \\-2 \\ 1 \end{pmatrix}~~~~\vec c = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ Karena $\vec a \perp \vec c$ saling tegak lurus, maka $\vec a \bullet \vec c = 0$ sehingga ditulis $\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-x \end{pmatrix} \bullet \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} & = 0 \\ 12 + 21 + -x2 & = 0 \\ 2+2-2x&=0 \\-2x&=-4 \\ x &=2 \end{aligned}$ Dengan demikian, $$\begin{aligned} & \vec a + \vec b \bullet \vec a- \vec c \\ & = \left[\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-x \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\-2 \\ 1 \end{pmatrix}\right] \bullet \left[\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-x \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right] \\ & = \left[\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\-2 \\ 1 \end{pmatrix}\right] \bullet \left[\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-2 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right] \\ & =\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\-1 \end{pmatrix} \bullet \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\-4 \end{pmatrix} \\ & = 4-1+01+-1-4 = 0 \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\boxed{\vec a + \vec b \bullet \vec a-\vec c = 0}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 5 Diketahui vektor $\vec u = 3\widehat{i}+2\widehat{j}-\widehat{k}$ dan $\vec v = 3\widehat{i}+9\widehat{j}-12\widehat{k}$. Jika vektor $2 \vec u-a \vec v$ tegak lurus terhadap $\vec v$, maka nilai $a = \cdots \cdot$ A. $-1$ C. $1$ E. $3$ B. $-\dfrac13$ D. $\dfrac13$ Pembahasan Diketahui $\vec u = 3,2,-1$ dan $\vec v = 3,9,-12$ Misalkan $\vec x = 2 \vec u- a \vec v$ sehingga $\begin{aligned} \vec x & = 23,2,-1-a3,9,-12 \\ & = 6,4,-2-3a, 9a,-12a \\ & = 6-3a, 4-9a,-2+12a \end{aligned}$ Karena vektor $\vec x = 2 \vec u-a \vec v$ tegak lurus terhadap $\vec v$, maka haruslah memenuhi $\vec x \bullet \vec v = 0$ sehingga ditulis $$\begin{aligned} 6-3a, 4-9a,-2+12a \bullet 3,9,-12 & = 0 \\ 36-3a + 94-9a + -12-2+12a & =0 \\ 18-9a + 36-81a + 24- 144a & = 0 \\ 78- 234a & = 0 \\-234a & =-78 \\ a & = \dfrac13 \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{a = \dfrac13}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 6 Diketahui vektor $\vec u = 2,-1,3$ dan $\vec v =-3,2,6$. Panjang proyeksi vektor skalar $3 \vec u + 2 \vec v$ pada vektor $\vec v$ adalah $\cdots \cdot$ A. $13\dfrac34$ D. $21\dfrac57$ B. $15\dfrac57$ E. $22\dfrac34$ C. $18\dfrac27$ Pembahasan Misalkan $\vec x = 3 \vec u + 2 \vec v$ sehingga $\begin{aligned} \vec x & = 32,-1,3 + 2-3,2,6 \\ & = 6,-3,9+-6,4,12 \\ & = 6+-6,-3+4, 9+12 \\ & = 0, 1, 21 \end{aligned}$ Panjang proyeksi vektor skalar $\vec x = 3 \vec u + 2 \vec v$ pada vektor $\vec v$ dinyatakan oleh $\begin{aligned} \vec x_{\vec v} & = \dfrac{\vec x \bullet \vec v} {\vec v} \\ & = \dfrac{0,1,21 \bullet -3,2,6} {\sqrt{-3^2+2^2+6^2}} \\ & = \dfrac{0-3+12+216} {\sqrt{9+4+36}} \\ & = \dfrac{0+2+126}{\sqrt{49}} \\ & = \dfrac{128}{7} = 18\dfrac27 \end{aligned}$ Jadi, panjang proyeksi vektor skalar dari kedua vektor tersebut adalah $\boxed{18\dfrac27}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 7 Diketahui vektor $\vec u = \widehat{i}+2\widehat{j}-\widehat{k}$ dan $\vec v = \widehat{i}+\widehat{j}+m\widehat{k}$. Panjang proyeksi $\vec u$ pada $\vec v$ adalah $\dfrac23\sqrt3$. Bila $m>0$, maka nilai $m+2=\cdots \cdot$ A. $2$ C. $5$ E. $15$ B. $3$ D. $9$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} \vec u & = 1, 2,-1 \\ \vec v & = 1, 1, m \\ \vec u _{\vec v} & = \dfrac23\sqrt3 \end{aligned}$ Dengan menggunakan rumus panjang proyeksi vektor, diperoleh $$\begin{aligned} \vec u _{\vec v} & = \dfrac{\vec u \bullet \vec v}{\vec v} \\ \dfrac23\sqrt3 & = \dfrac{1,2,-1 \bullet 1,1,m}{\sqrt{1^2+1^2+m^2}} \\ \dfrac23\sqrt3 & = \dfrac{11 + 21 + -1m}{\sqrt{2+m^2}} \\ \dfrac23\sqrt3 & = \dfrac{3-m}{\sqrt{2+m^2}} \\ \text{Kuadratkan}&~\text{kedua ruas} \\ \left\dfrac23\sqrt3\right^2 & = \left\dfrac{3-m}{\sqrt{2+m^2}}\right^2 \\ \dfrac{4}{\cancelto{3}{9}} \cdot \cancel{3} & = \dfrac{9-6m+m^2}{2+m^2} \\ \dfrac432+m^2 & = 9-6m+m^2 \\ 8+4m^2 & = 27-18m+3m^2 \\ m^2 + 18m- 19 & = 0 \\ m+19m-1 & = 0 \end{aligned}$$Dari sini, diperoleh $m =-19$ atau $m=1$. Karena $m>0$, maka dipilih $m=1$ sehingga nilai $\boxed{m+2=1+2=3}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 8 Misalkan $At^2+1,t$ dan $B1,2$ sehingga panjang vektor proyeksi $\vec{OA}$ terhadap $\vec{OB}$ lebih dari $\dfrac{4}{\sqrt5}$. Nilai $t$ yang mungkin adalah $\cdots \cdot$ A. $-33$ C. $t1$ D. $-1 \dfrac{4}{\sqrt5} \end{aligned}$ Karena panjang proyeksi vektornya lebih dari $\dfrac{4}{\sqrt5}$, maka kita tuliskan $\begin{aligned} \vec{OA}_{\vec {OB}}& > \dfrac{4}{\sqrt5} \\ \dfrac{\vec{OA} \bullet \vec{OB}}{\vec{OB}} & > \dfrac{4}{\sqrt{5}} \\ \dfrac{t^2+1, t \bullet 1, 2}{\sqrt{1^2+2^2}} & > \dfrac{4}{\sqrt{5}} \\ \dfrac{t^2+11 + t2}{\cancel{\sqrt5}} & > \dfrac{4}{\cancel{\sqrt5}} \\ t^2+1+2t & > 4 \\ t^2+2t-3 & > 0 \\ t+3t-1 & > 0 \end{aligned}$ Pembuat nol $t =-3$ atau $t = 1$. Dengan menggunakan bantuan garis bilangan, uji salah satu nilai $t$ untuk menentukan tanda positif-negatif. Nilai $t$ yang mungkin adalah $\boxed{t1}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 9 Vektor $\vec z$ adalah proyeksi vektor $\vec x =-\sqrt3,3,1$ pada vektor $\vec y =\sqrt{3},2,3$. Panjang vektor $\vec z$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac12$ C. $\dfrac32$ E. $\dfrac52$ B. $1$ D. $2$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} \vec x & = -\sqrt3,3,1 \\ \vec y & = \sqrt3, 2, 3 \end{aligned}$ Panjang proyeksi vektor $\vec x$ pada $\vec y$ dinyatakan oleh $$\begin{aligned} \vec z = \vec x_{\vec y} & = \dfrac{\vec x \bullet \vec y} {\vec y} \\ & = \dfrac{-\sqrt3, 3, 1 \bullet \sqrt3, 2, 3} {\sqrt{\sqrt3^2+2^2+3^2}} \\ & = \dfrac{-\sqrt3\sqrt3+32+13} {\sqrt{3+4+9}} \\ & = \dfrac{-3 + 6 + 3}{\sqrt{16}} \\ & = \dfrac{6}{4} = \dfrac32 \end{aligned}$$Jadi, panjang vektor $\vec z$ adalah $\boxed{\dfrac32}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 10 Diketahui $\vec p= \widehat{i}-\widehat{j}+2\widehat{k}$ dan $\vec q= 2\widehat{i}-2\widehat{j}+n\widehat{k}$. Jika panjang proyeksi vektor $\vec p$ pada $\vec q$ adalah $2$, maka $n=\cdots \cdot$ A. $1$ C. $4$ E. $8$ B. $3$ D. $6$ Pembahasan Panjang proyeksi vektor $\vec p$ pada $\vec q$ dinyatakan oleh $\vec p_{\vec q} = \dfrac{\vec p \bullet \vec q} {\vec q}$ Diketahui $\begin{aligned} \vec p & = 1,-1,2 \\ \vec q & = 2,-2,n \\ \vec p_{\vec q} & = 2 \end{aligned}$ Untuk itu, kita peroleh $$\begin{aligned} 2 & = \dfrac{1,-1,2 \bullet 2,-2,n}{\sqrt{2^2+-2^2+n^2}} \\ 2 & = \dfrac{12 + -2-1 + 2n} {\sqrt{4+4+n^2}} \\ 2 & = \dfrac {4+2n} {\sqrt{8+n^2}} \\ 2\sqrt{8+n^2} & = 4+2n \\ \sqrt{8+n^2} & = 2+n \\ \text{Kuadratkan}~&\text{kedua ruas} \\ 8+n^2 & = 2+n^2 \\ 8+\cancel{n^2} & = 4+4n+\cancel{n^2} \\ 8&=4+4n \\ n & = \dfrac{8-4}{4} = 1 \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{n = 1}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 11 Jika $\vec u$ dan $\vec v$ adalah dua vektor satuan yang membentuk sudut $45^{\circ}$, maka $\vec u + \vec v \bullet \vec v = \cdots \cdot$ A. $\dfrac{2 + \sqrt{2}}{2}$ D. $\sqrt2$ B. $\dfrac{2- \sqrt{2}}{2}$ E. $2\sqrt2$ C. $\dfrac12\sqrt2$ Pembahasan Karena $\vec u$ dan $\vec v$ vektor satuan, maka $\vec u = \vec v =1$ dan juga diketahui $\angle\vec u, \vec v = 45^{\circ}$. Untuk itu, $$\begin{aligned} \vec u + \vec v \bullet \vec v & = \vec u \bullet \vec v + \vec v \bullet \vec v \\ & = \vec u \cdot \vec v \cos 45^{\circ} + \vec v \cdot \vec v \cos 0^{\circ} \\ & = 11\left\dfrac12\sqrt2\right + 111 \\ & = 1 + \dfrac12\sqrt2 = \dfrac{2+\sqrt2}{2} \end{aligned}$$Catatan Besar sudut antara dua vektor yang sama adalah $0^{\circ}$. Jadi, $\boxed{\vec u + \vec v \bullet \vec v = \dfrac{2+\sqrt2}{2}}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 12 Diketahui $\vec a, \vec b$, dan $\vec c$ adalah vektor satuan yang membentuk sudut $60^{\circ}$ satu sama lain. Nilai $\vec a + \vec b \bullet \vec b-\vec c = \cdots \cdot$ A. $\dfrac18$ C. $\dfrac12$ E. $2$ B. $\dfrac14$ D. $1$ Pembahasan Karena $\vec a, \vec b$, dan $\vec c$ vektor satuan, maka $\vec a = \vec b = \vec c = 1$ dan juga diketahui $\angle\vec a, \vec b = \angle\vec a, \vec c = \angle\vec b, \vec c = 60^{\circ}$. Untuk itu, $$\begin{aligned} & \vec a + \vec b \bullet \vec b-\vec c \\ & = \vec a \bullet \vec b-\vec a \bullet \vec c + \vec b \bullet \vec b-\vec b \bullet \vec c \\ & = \vec a \cdot \vec b \cos 60^{\circ}-\vec a \cdot \vec c \cos 60^{\circ} + \vec b \cdot \vec b \cos 0 ^{\circ}-\vec b \cdot \vec c \cos 60^{\circ} \\ & = 11\left\dfrac12\right-11\left\dfrac12\right + \\ & 111-11\left\dfrac12\right \\ & = \dfrac12-\dfrac12 + 1-\dfrac12 = \dfrac12 \end{aligned}$$Jadi, $\boxed{\vec a + \vec b \bullet \vec b-\vec c = \dfrac12}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 13 Diketahui titik $A1,0,-2,B2,1,-1$, dan $C2,0,-3$. Sudut antara vektor $\vec{AB}$ dengan $\vec{AC}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $30^{\circ}$ D. $90^{\circ}$ B. $45^{\circ}$ E. $120^{\circ}$ C. $60^{\circ}$ Pembahasan Untuk $A1,0,-2,B2,1,-1$, dan $C2,0,-3$, diperoleh $$\begin{aligned} \vec{AB} & = B- A = 2,1,-1-1,0,-2 \\ & = 1,1,1 \\ \vec{AC} & = C- A = 2,0,-3-1,0,-2 \\ & = 1, 0,-1 \end{aligned}$$Misalkan sudut yang terbentuk oleh kedua vektor adalah $\theta$. Kosinus sudut kedua vektor itu dinyatakan oleh $$\begin{aligned} \cos \theta & = \dfrac{\vec{AB} \bullet \vec{AC}} {\vec {AB} \cdot \vec {AC}} \\ & = \dfrac{1,1,1 \bullet 1,0,-1} {\sqrt{1^2+1^2+1^2} \cdot \sqrt{1^2+0^2+-1^2}} \\ & = \dfrac{1+0+-1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} \\ & = \dfrac{0}{\sqrt6} = 0 \end{aligned}$$Dari $\cos \theta = 0$, diperoleh $\boxed{\theta = 90^{\circ}}$ Jawaban D [collapse] Baca Juga Materi, Soal, dan Pembahasan – Aturan Sinus, Aturan Kosinus, dan Luas Segitiga Menurut Trigonometri Soal Nomor 14 Diketahui vektor $\vec a = 2,-3, 1$ dan $\vec b = 1,-2,3$. Nilai sinus sudut antar vektor $\vec a$ dan $\vec b$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac57$ D. $\dfrac{5}{11}\sqrt3$ B. $\dfrac{11}{14}$ E. $\dfrac{2}{7}\sqrt6$ C. $\dfrac{5}{14}\sqrt3$ Pembahasan Misalkan $\theta$ merupakan besar sudut yang terbentuk oleh kedua vektor tersebut. Kosinus sudut kedua vektor itu dinyatakan oleh $$\begin{aligned} & \cos \theta = \dfrac{\vec a \bullet \vec b} {\vec a \cdot \vec b} \\ & = \dfrac{2,-3,1 \bullet 1,-2,3} {\sqrt{2^2+-3^2+1^2} \cdot \sqrt{1^2+-2^2+3^2}} \\ & = \dfrac{2+6+3}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}} \\ & = \dfrac{11}{14} \end{aligned}$$Dengan menggunakan Identitas Pythagoras dalam trigonometri $\boxed{\sin \theta = \sqrt{1-\cos^2 \theta}}$ diperoleh $\begin{aligned} \sin \theta & = \sqrt{1- \left\dfrac{11}{14}\right^2} \\ & = \sqrt{1-\dfrac{121}{196}} = \sqrt{\dfrac{75}{196}} = \dfrac{5\sqrt3}{14} \end{aligned}$ Jadi, nilai sinus sudut antar vektor $\vec a$ dan $\vec b$ adalah $\boxed{\dfrac{5\sqrt3}{14}}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 15 Diketahui vektor $\vec a =\widehat{i}+\widehat{j}$ dan $\vec b =-\widehat{i}+\widehat{k}$. Nilai sinus sudut antara kedua vektor tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $-\dfrac12$ D. $\dfrac12\sqrt2$ B. 0 E. $\dfrac12\sqrt3$ C. $\dfrac12$ Pembahasan Bila vektor dinyatakan dalam bentuk koordinat, maka $\vec a = 1, 1, 0$ dan $\vec b = -1, 0, 1$. Misalkan sudut yang terbentuk oleh kedua vektor adalah $\theta$. Kosinus sudut kedua vektor itu dinyatakan oleh $$\begin{aligned} & \cos \theta = \dfrac{\vec a \bullet \vec b} {\vec a \cdot \vec b} \\ & = \dfrac{1,1,0 \bullet -1,0,1} {\sqrt{1^2+1^2+0^2} \cdot \sqrt{-1^2+0^2+1^2}} \\ & = \dfrac{-1+0+0}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} =-\dfrac{1}{2} \end{aligned}$$Dengan menggunakan Identitas Pythagoras dalam trigonometri $\boxed{\sin \theta = \sqrt{1-\cos^2 \theta}}$ diperoleh $\begin{aligned} \sin \theta & = \sqrt{1-\left-\dfrac{1}{2}\right^2} \\ & = \sqrt{1-\dfrac14} = \sqrt{\dfrac34} = \dfrac12\sqrt3 \end{aligned}$ Jadi, nilai sinus sudut antar vektor $\vec a$ dan $\vec b$ adalah $\boxed{\dfrac12\sqrt3}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 16 Panjang vektor $\vec a, \vec b$, dan $\vec a-\vec b$ berturut-turut adalah $3, 4$, dan $\sqrt{37}$. Besar sudut antara vektor $\vec a$ dan vektor $\vec b$ adalah $\cdots \cdot$ A. $30^{\circ}$ D. $120^{\circ}$ B. $45^{\circ}$ E. $150^{\circ}$ C. $60^{\circ}$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} \vec a & = 3 \\ \vec b &= 4 \\ \vec a-\vec b & = \sqrt{37} \end{aligned}$ Dengan menggunakan aturan kosinus pada vektor, diperoleh $$\begin{aligned} \vec a-\vec b & = \sqrt{\vec a^2 + \vec b^2- 2\vec a\vec b \cos \theta} \\ \text{Kuadratkan}&~\text{kedua ruas} \\ \sqrt{37}^2 & = 3^2 + 4^2-234 \cos \theta \\ 37 & = 9+16-24\cos \theta \\-24 \cos \theta & = 12 \\ \cos \theta & =-\dfrac{12}{24} =-\dfrac12 \end{aligned}$$Untuk $\cos \theta =-\dfrac12$, diperoleh $\theta = 120^{\circ}$ Jadi, besar sudut antara vektor $\vec a$ dan vektor $\vec b$ adalah $\boxed{120^{\circ}}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 17 Diketahui titik $A5, 1, 3, B2,-1,-1$, dan $C4, 2,-4$. Besar sudut $ABC = \cdots \cdot$ A. $\pi$ C. $\dfrac{\pi}{3}$ E. $0$ B. $\dfrac{\pi}{2}$ D. $\dfrac{\pi}{6}$ Pembahasan Besar sudut $ABC$ dapat ditentukan dengan menerapkan rumus $\boxed{\cos \theta = \dfrac{\vec {AB} \bullet \vec{BC}}{\vec {AB} \cdot \vec {BC}}}$ Perhatikan bahwa, $\begin{aligned}\vec{AB} & = B- A \\ & = 2,-1,-1-5, 1, 3 \\ & = -3,-2,-4 \end{aligned}$ dan $\begin{aligned}\vec{BC} & = C- B \\ & = 4, 2,-4-2,-1,-1 \\ & = 2, 3,-3 \end{aligned}$ Panjang vektor $\vec{AB}$ dinyatakan oleh $\begin{aligned} \vec{AB} & = \sqrt{-3^2+-2^2+-4^2} \\ & = \sqrt{9+4+16} \\ & = \sqrt{29} \end{aligned}$ Panjang vektor $\vec{BC}$ dinyatakan oleh $\begin{aligned}\vec{BC} & = \sqrt{2^2+3^2+-3^2} \\ & = \sqrt{4+9+9} \\ &= \sqrt{22} \end{aligned}$ Dengan demikian, diperoleh $\begin{aligned} \cos \theta & = \dfrac{\vec {AB} \bullet \vec{BC}}{\vec {AB}\cdot \vec {BC}} \\ & = \dfrac{-3,-2,-4 \bullet 2, 3,-3}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{22}} \\ & = \dfrac{-6-6+12}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{22}} \\ & = 0 \end{aligned}$ Karena $\cos \theta = 0$, maka $\boxed{\theta = 90^{\circ}=\dfrac{\pi}{2}}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 18 Diketahui $\vec a=2\sqrt3$ dan $\vec b=4$. Jika vektor $\vec a$ tegak lurus dengan $\vec a +\vec b$, maka sudut antara vektor $\vec a$ dengan vektor $\vec b$ adalah $\cdots \cdot$ A. $150^{\circ}$ D. $60^{\circ}$ B. $120^{\circ}$ E. $30^{\circ}$ C. $90^{\circ}$ Pembahasan Diketahui $\vec a = 2\sqrt3; \vec b = 4.$ Karena vektor $\vec a$ tegak lurus dengan $\vec a +\vec b$, maka $\vec a \bullet \vec a + \vec b = 0$. Dari sini, kita peroleh $$\begin{aligned} \vec a \bullet \vec a + \vec a \bullet \vec b & = 0 \\ \vec a \vec a \cos 0^{\circ} + \vec a\vec b \cos \theta & = 0 \\ 2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt3 \cdot 1 + 2\sqrt3 \cdot 4 \cdot \cos \theta & = 0 \\ 12+8\sqrt3 \cos \theta & = 0 \\ \cos \theta & =-\dfrac{12}{8\sqrt{3}} \\ & =-\dfrac{3}{2\sqrt3} \times \dfrac{\sqrt3}{\sqrt3} \\ & =-\dfrac{\cancel{3}\sqrt3}{2\cancel{3}} \\ & =-\dfrac12\sqrt3 \end{aligned}$$Karena $\cos \theta =-\dfrac12\sqrt3$, maka nilai $\boxed{\theta = 150^{\circ}}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 19 Diketahui limas $ mempunyai koordinat $T1, 0, 3, A0, 0, 0$, $B5, 0, 0$, dan $C1, 4, 0$. Jika $\theta$ merupakan sudut antara $\vec{TB}$ dan $\vec{TC}$, maka nilai $\cos \theta$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-\dfrac{9}{25}$ D. $\dfrac{3}{5}$ B. $-\dfrac{3}{5}$ E. $\dfrac{9}{25}$ C. $\dfrac{3}{25}$ Pembahasan Dari koordinat titik yang diberikan, diketahui $\begin{aligned} \vec{TB} & = B- T = 5, 0, 0- 1, 0, 3 \\ & = 4,0,-3 \\ \vec{TC} & = C- T = 1,4,0-1,0,3 \\ & =0,4,-3 \end{aligned}$ Panjang kedua vektor tersebut dinyatakan oleh $\begin{aligned} \vec{TB} & = \sqrt{4^2+0^2+-3^2} = 5 \\\vec{TC} & = \sqrt{0^2+4^2+-3^2} = 5 \end{aligned}$ Kosinus dari sudut antara $\vec{TB}$ dan $\vec{TC}$ dapat ditentukan dengan menggunakan aturan kosinus pada vektor. $$\begin{aligned} \cos \theta & = \dfrac{\vec {TB} \bullet \vec{TC}}{\vec {TB} \cdot \vec {TC}} \\ & = \dfrac{4,0,-3 \bullet 0, 4,-3}{5 \cdot 5} \\ & = \dfrac{40 + 04 + -3-3}{25} = \dfrac{9}{25} \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{\cos \theta = \dfrac{9}{25}}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 20 Jika sudut antara vektor $\vec a = \widehat{i}+\widehat{j}-r\widehat{k}$ dan $\vec b = r\widehat{i}-r\widehat{j}-2\widehat{k}$ adalah $60^{\circ}$. Nilai $r$ positif yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$ A. $\sqrt2$ C. $0$ E. $-\sqrt2$ B. $1$ D. $-1$ Pembahasan Diketahui $\vec a = 1, 1,-r, \vec b = r,-r,-2$ dan $\angle\vec a, \vec b = \theta = 60^{\circ}.$ Dengan menggunakan aturan kosinus pada vektor, diperoleh $$\begin{aligned} \cos \theta & = \dfrac{\vec a \bullet \vec b}{\vec a \cdot \vec b} \\ & = \dfrac{1,1,-r \bullet r,-r,-2}{\sqrt{1^2+1^2+-r^2} \cdot \sqrt{r^2+-r^2+-2^2}} \\ \cos 60^{\circ} & = \dfrac{1r + 1-r + -r-2}{\sqrt{2+r^2} \cdot \sqrt{2r^2+4}} \\ \dfrac12 & = \dfrac{2r}{\sqrt{2r^4+8r^2+8}} \\ 4r & = \sqrt{2r^4+8r^2+8} \\ & \text{Kuadratkan}~\text{kedua ruas} \\ 16r^2 & = 2r^4+8r^2+8 \\ 0 & = 2r^4-8r^2+8 \\ 0 & = r^4-4r^2+4 \\ 0 & = r^2-2r^2-2 \end{aligned}$$Didapat $r^2 = 2 \Leftrightarrow r = \pm \sqrt2$ Karena $r$ dikatakan bernilai positif, maka $\boxed{r = \sqrt2}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 21 Diketahui vektor $\vec u =0,2,2$ dan $\vec v =-2,0,2$. Proyeksi vektor ortogonal $\vec u$ pada $\vec v$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-\widehat i+\widehat k$ B. $-\widehat i+ \dfrac12 \widehat k$ C. $-\widehat i- \widehat k$ D. $-2i+ \widehat k$ E. $2\widehat i- \widehat k$ Pembahasan Proyeksi ortogonal vektor $\vec u$ pada $\vec v$ dinyatakan oleh $\boxed{\vec u_{\vec v} = \dfrac{\vec u \bullet \vec v} {\vec v^2} \cdot \vec v}$ Untuk $\vec u = 0,2,2$ dan $\vec v =-2,0,2,$ diperoleh $$\begin{aligned} \vec u_{\vec v} & = \dfrac{0,2,2 \bullet -2,0,2} {\sqrt{-2^2+0^2+2^2}^2} \cdot -2,0,2 \\ & = \dfrac{0-2+20+22} {4+4} \cdot -2,0,2 \\ & = \dfrac{4}{8} \cdot -2,0,2 \\ & = -1,0,1 \end{aligned}$$Jadi, proyeksi ortogonal vektor $\vec u = 0,2,2$ pada $\vec v=-2,0,2$ adalah $-1,0,1$ atau bila dinyatakan dalam vektor komponen menjadi $\boxed{-\widehat i + \widehat k}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 22 Proyeksi ortogonal vektor $\vec a = 4\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k}$ pada $\vec b = 2\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac{13}{14}2\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k}$ B. $\dfrac{15}{14}2\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k}$ C. $\dfrac872\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k}$ D. $\dfrac972\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k}$ E. $4\widehat{i}+2\widehat{j}+6\widehat{k}$ Pembahasan Proyeksi ortogonal vektor $\vec a$ pada $\vec b$ dinyatakan oleh $\boxed{\vec a_{\vec b} = \dfrac{\vec a \bullet \vec b} {\vec b^2} \cdot \vec b}$ Untuk $\vec a = 4,1,3$ dan $\vec b =2,1,3$, diperoleh $$\begin{aligned} \vec a_{\vec b} & = \dfrac{4,1,3 \bullet 2,1,3} {\sqrt{2^2+1^2+3^2}^2} \cdot 2,1,3 \\ & = \dfrac{42+11+33} {4+1+9} \cdot 2,1,3 \\ & = \dfrac{18}{14} \cdot 2,1,3 \\ & = \dfrac972\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k} \end{aligned}$$Jadi, proyeksi ortogonal vektor $\vec a = 4,1,3$ pada $\vec b=2,1,3$ adalah $\boxed{\dfrac972\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k}}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 23 Diketahui vektor $\vec a = \widehat{i}-5\widehat{j}+2\widehat{k}$ dan $\vec b = 8\widehat{i}+m\widehat{k}$. Panjang proyeksi vektor $\vec b$ pada $\vec a$ adalah $\dfrac{1}{5}\vec a$. Vektor proyeksi ortogonal $\vec b$ pada $\vec a$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-\dfrac85 \widehat i-5\widehat j+\dfrac65 \widehat k$ B. $\widehat i+2 \widehat j+5 \widehat k$ C. $\widehat i+5\widehat j+2\widehat k$ D. $\dfrac15 \widehat i- \widehat j+\dfrac25 \widehat k$ E. $\dfrac15 \widehat i+\widehat j+2\widehat k$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} \vec a & = 1,-5, 2 \\ \vec b & = 8,0,m \\ \vec b_{\vec a} & = \dfrac15\vec a \end{aligned}$ Akan dicari nilai $m$ dengan menggunakan rumus panjang proyeksi vektor. $$\begin{aligned} \vec b_{\vec a} & = \dfrac{\vec b \bullet \vec a}{\vec a} \\ \dfrac15\vec a & = \dfrac{8,0,m \bullet 1,-5,2}{\vec a} \\ \dfrac15\sqrt{1^2+-5^2+2^2} & = \dfrac{81+0-5+m2}{\sqrt{1^2+-5^2+2^2}} \\ \dfrac15\sqrt{30} & = \dfrac{8+2m}{\sqrt{30}} \\ 40+10m & = 30 \\ 10m & =-10 \\ m & =-1 \end{aligned}$$Dengan demikian, vektor proyeksi $\vec b$ pada $\vec a$ dinyatakan oleh $\begin{aligned} \vec b_{\vec a} & = \dfrac{\vec b \bullet \vec a}{\vec a^2} \cdot \vec a \\ & = \dfrac{8+2m}{\sqrt{30}^2} \cdot \widehat{i}-5\widehat{j}+2\widehat{k} \\ & = \dfrac{8+2-1}{30} \cdot \widehat{i}-5\widehat{j}+2\widehat{k} \\ & = \dfrac15\widehat{i}-5\widehat{j}+2\widehat{k} \\ & = \;\boxed{\dfrac15\widehat{i}-\widehat{j}+\dfrac25\widehat{k}}\end{aligned}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 24 Diketahui bahwa $\vec a=\sqrt{3},\vec b=1$, dan $\vec a-\vec b=1$. Panjang vektor $\vec a + \vec b$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\sqrt3$ D. $2\sqrt2$ B. $\sqrt5$ E. $3$ C. $\sqrt7$ Pembahasan Dengan menerapkan aturan kosinus pada vektor, diperoleh $$\begin{aligned} \vec a-\vec b & = 1 \\ \sqrt{\vec a^2 + \vec b^2- 2\vec a\vec b \cos \theta} & = 1 \\ \text{Kuadratkan kedua ruas} & \\ \vec a^2 + \vec b^2-2\vec a\vec b \cos \theta & = 1 \\ \sqrt3^2 + 1^2-2\sqrt31 \cos \theta & = 1 \\ 4-2\sqrt3 \cos \theta & = 1 \\ \cos \theta & = \dfrac{-3}{-2\sqrt3} \\ \cos \theta & = \dfrac{3}{2\sqrt3} \end{aligned}$$Dengan demikian, $$\begin{aligned} \vec a + \vec b & = \sqrt{\vec a^2 + \vec b^2 + 2\vec a\vec b \cos \theta} \\ & = \sqrt{\sqrt3^2 + 1^2 + \cancel{2\sqrt3}1 \times \dfrac{3}{\cancel{2\sqrt3}}} \\ & = \sqrt{3+1+3} =\sqrt7 \end{aligned}$$Jadi, panjang vektor $\vec a + \vec b$ adalah $\boxed{\sqrt7}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 25 Misalkan panjang vektor $\vec a$ adalah $1$ dan panjang vektor $\vec b$ adalah 4 serta $\vec a \bullet \vec b =3$. Panjang vektor $2 \vec a- \vec b$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\sqrt2$ D. $\sqrt3$ B. $2\sqrt2$ E. $2\sqrt3$ C. $3$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} \vec a & = 1 \\ \vec b & = 4 \\ \vec a \bullet \vec b & = 3 \end{aligned}$ Kosinus sudut antara $\vec a$ dan $\vec b$ dinyatakan oleh $\cos \theta = \dfrac{\vec a \bullet \vec b}{\vec a \cdot \vec b} = \dfrac{3}{1 \cdot 4}= \dfrac34$ Karena $\vec {2a}$ merupakan perpanjangan dari $\vec a$, maka sudut yang terbentuk oleh $\vec {2a}$ dan $\vec b$ sama dengan sudut yang terbentuk oleh $\vec a$ dan $\vec b$, yaitu $\theta$ sehingga dengan menggunakan aturan kosinus pada vektor, diperoleh $$\begin{aligned} 2\vec a-\vec b & = \sqrt{2a^2+b^2-22ab \cos \theta} \\ & = \sqrt{21^2 + 4^2-22\cancel{4} \dfrac{3}{\cancel{4}}} \\ & = \sqrt{4+16-12} = \sqrt8 = 2\sqrt2 \end{aligned}$$Jadi, panjang vektor $2 \vec a- \vec b$ adalah $\boxed{2\sqrt2}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 26 Diketahui vektor $\vec a =2,-2\sqrt2,4, \vec b = -1,p,q$, dan $\vec c=3,\sqrt2,-1$. Jika vektor $\vec a$ berlawanan arah dengan vektor $\vec b$, nilai $\vec a- \vec b \bullet \vec b- \vec c = \cdots \cdot$ A. $-18$ D. $6$ B. $-12$ E. $18$ C. $-6$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} \vec a & = 2,-2\sqrt2,4 \\ \vec b & = -1, p, q \\ \vec c & = 3,\sqrt2,-1 \end{aligned}$ Karena $\vec a$ berlawanan arah dengan $\vec b$, maka haruslah ada skalar $k < 0$ sehingga memenuhi $\vec a = k\vec b \Rightarrow 2,-2\sqrt2, 4 = k-1,p,q.$ Dari absis, kita peroleh $2 =-k \Leftrightarrow k =-2.$ Dengan demikian, $-2\sqrt2 =-2p \Leftrightarrow p = \sqrt2$ dan $4 =-2q \Leftrightarrow q =-2$ sehingga $\vec b = -1, \sqrt2,-2.$ Untuk itu, $\begin{aligned} & \vec a- \vec b \bullet \vec b- \vec c \\ & = [2,-2\sqrt2, 4- -1, \sqrt2,-2] \\ & \bullet [-1, \sqrt2,-2- 3, \sqrt2,-1] \\ & = 3,-3\sqrt2, 6 \bullet -4, 0,-1 \\ & = 3-4 + -3\sqrt20 + 6-1 \\ & =-12 + 0- 6 =-18 \end{aligned}$ Jadi, nilai $\boxed{\vec a- \vec b \bullet \vec b- \vec c=-18}$ Catatan Skalar yang dimaksud di sini adalah bilangan real. Jawaban A [collapse] Soal Nomor 27 Jika $\vec a + \vec b= \widehat{i}-\widehat{j}+4\widehat{k}$ dan $\vec a-\vec b = \sqrt{14}$, maka $\vec a \bullet \vec b = \cdots \cdot$ A. $0$ C. $\dfrac12$ E. $2$ B. $\dfrac14$ D. $1$ Pembahasan Karena $\vec a + \vec b= \widehat{i}-\widehat{j}+4\widehat{k}$, maka panjangnya adalah $\begin{aligned} \vec a + \vec b & = \sqrt{1^2+-1^2+4^2} \\ & = \sqrt{18} \end{aligned}$ Perhatikan bahwa, $$\begin{aligned} \vec a- \vec b^2 & = \vec a^2 + \vec b^2- 2\vec a\vec b \cos \theta = 14 \\ \vec a + \vec b^2 & = \vec a^2 + \vec b^2 + 2\vec a\vec b \cos \theta = 18 \end{aligned}$$Kurangi kedua persamaan di atas sehingga diperoleh $\begin{aligned}-4\vec a\vec b \cos \theta & =-4 \\ \vec a\vec b \cos \theta & = 1 \\ \vec a \bullet \vec b & = 1 \end{aligned}$ Jadi, perkalian titik dari vektor $\vec a$ dan $\vec b$ adalah $\boxed{\vec a \bullet \vec b = 1}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 28 Diketahui vektor $\vec k=9,0,-6, \vec l=2,4,-1$, $\vec m =2,1,2$, dan $\vec n=1,-3,-2$. Jika $\vec k = a \vec l + b \vec m + c \vec n$, maka $2a+5b-7c=\cdots \cdot$ A. $-12$ C. $0$ E. $12$ B. $-5$ D. $1$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} \vec k & = 9,0,-6 \\ \vec l & =2,4,-1 \\ \vec m & =2,1,2 \\ \vec n & =1,-3,-2 \end{aligned}$ Dengan menggunakan operasi penjumlahan pada vektor, diperoleh $$\begin{aligned} \vec k & = a \vec l + b \vec m + c \vec n \\ 9, 0,-6 & = a2,4,-1+b2,1,2+c1,-3,-2 \\ 9, 0,-6 & = 2a+2b+c, 4a+b-3c,-a+2b-2c \end{aligned}$$Dari sini, diperoleh SPLTV $\begin{cases} 2a+2b+c = 9 \\ 4a+b-3c = 0 \\-a+2b-2c=-6 \end{cases}$ SPLTV di atas dapat diselesaikan dengan banyak cara seperti Metode Substitusi/Eliminasi, Aturan Cramer, Aturan Invers, Eliminasi Gauss/Jordan, dan sebagainya. Penyelesaian SPLTV di atas adalah $a=2, b=1,c=3$. Untuk itu, $\begin{aligned} 2a+5b-7c & =22+51-73\\ & =4+5-21=-12 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{2a+5b-7c=-12}$ Jawaban A [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan- SPLTV Soal Nomor 29 Jika $\vec u + \vec v$ tegak lurus dengan $\vec u-\vec v$, maka pernyataan berikut ini yang paling tepat adalah $\cdots \cdot$ A. $\vec u + \vec v=\vec u-\vec v$ B. $\vec u=\vec v$ C. $\vec u = \vec v$ D. arah $\vec u$ = arah $\vec v$ E. $\vec u$ tegak lurus dengan $\vec v$ Pembahasan Karena $\vec u + \vec v$ tegak lurus dengan $\vec u-\vec v$, maka berlaku $\begin{aligned} \vec u + \vec v \bullet \vec u + \vec v & = 0 \\ \vec u \bullet \vec u-\vec v \bullet \vec v & = 0 \\ \vec u^2 \cos 0^{\circ}-\vec v^2 \cos 0^{\circ} & = 0 \\ \vec u^2 & = \vec v^2 \end{aligned}$ Karena masing-masing $\vec u$ dan $\vec v$ menyatakan panjang vektor, maka nilainya tak mungkin negatif sehingga didapat $\vec u = \vec v$. Jawaban B [collapse] Soal Nomor 30 Diketahui titik $A2,1,-4,B2,-4,6$, dan $C-2,5,4$. Titik $P$ membagi $AB$ sehingga $APPB=32$. Vektor yang diawali oleh $\vec{PC}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-4,3,-6$ D. $4,-7,-2$ B. $-4,-7,2$ E. $-4,7,2$ C. $-4,3,6$ Pembahasan Titik $P$ berada pada $AB$ dengan $AP PB = 3 2$ sehingga koordinat titik $P$ dapat ditentukan sebagai berikut. 1 Absis $\begin{aligned} x_P & = \dfrac{1}{3+2}2x_A + 3x_B \\ & = \dfrac1522+32 = 2 \end{aligned}$ 2 Ordinat $\begin{aligned} y_P & = \dfrac{1}{3+2}2y_A + 3y_B \\ & = \dfrac1521+3-4 =-2 \end{aligned}$ 3 Aplikat $\begin{aligned} z_P & = \dfrac{1}{3+2}2z_A + 3z_B \\ & = \dfrac152-4+36 = 2 \end{aligned}$ Jadi, koordinat titik $P$ adalah $2,-2, 2$. Dengan demikian, $$\boxed{\begin{aligned} \vec PC & = C- P = -2, 5, 4-2,-2, 2 \\ & = -4, 7, 2 \end{aligned}}$$Jawaban E [collapse] Soal Nomor 31 $ABCD$ adalah segi empat sembarang. Titik $S$ dan $T$ masing-masing titik tengah $AC$ dan $BD$. Jika $\vec{ST} = u$, maka $\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{CB} +\vec{CD} = \cdots \cdot$ A $\vec u$ D. $4 \vec u$ B. $2 \vec u$ E. $8 \vec u$ C. $3 \vec u$ Pembahasan Cara 1 Perhatikan bahwa $\begin{aligned} \vec{AB} & = \vec {AS} + \vec {ST} + \vec {TB} \\ \vec{AD} & = \vec {AS} + \vec {ST} + \vec {TD} \\ \vec{CB} & = \vec {CS} + \vec {ST} + \vec {TB} \\ \vec{CD} & = \vec {CS} + \vec {ST} + \vec {TD} \end{aligned}$ Karena $T$ titik tengah $BD$, maka $\vec {TB}$ dan $\vec{TD}$ memiliki panjang yang sama dan arahnya berlawanan sehingga $\vec{TB} =-\vec{TD}$. Karena $S$ titik tengah $AC$, maka $\vec {AS}$ dan $\vec{CS}$ juga memiliki panjang yang sama dan arahnya berlawanan sehingga $\vec{AS} =-\vec{CS}$. Dengan demikian, apabila keempat persamaan di atas dijumlah, diperoleh $\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{CB} +\vec {CD} = 4\vec{ST} = 4\vec u.$ Cara 2 Misal vektor posisi titik $A,B,C,D$ berturut-turut adalah $\vec a, \vec b, \vec c, \vec d$. Karena $S$ di tengah $AC$, maka vektor posisi $S$ adalah $\vec s = \dfrac{\vec a + \vec c}{2}$, dan juga karena $T$ di tengah $BD$, maka vektor posisi $T$ adalah $\vec t = \dfrac{\vec b + \vec d}{2}$. Dengan demikian, $\vec{ST} = \vec u = \vec t-\vec s = \dfrac{\vec b+\vec d}{2}-\dfrac{\vec a+ \vec c}{2}.$ Ini berarti, $$\begin{aligned} & \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{CB} +\vec {CD} \\ & = \vec b- \vec a + \vec d-\vec a + \vec b-\vec c + \vec d-\vec c \\ & = 2\vec b + \vec d-2\vec a + \vec c \\ & = 4\left\dfrac{\vec b+ \vec d}{2}-\dfrac{\vec a+ \vec c}{2}\right = 4\vec u \end{aligned}$$Jadi, $\boxed{\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{CB} +\vec {CD} =4 \vec u}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 32 Diketahui tiga buah vektor, yakni $\vec u = 3\widehat i-\widehat j+2 \widehat k, \vec v = \widehat i + n \widehat j-2\widehat k$, dan $\vec w = \widehat i + m\widehat j-p \widehat k$ saling tegak lurus. Nilai $m+n+p=\cdots \cdot$ A. $\dfrac12$ C. $1\dfrac12$ E. $2\dfrac12$ B. $1$ D. $2$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} \vec u & = 3,-1, 2 \\ \vec v & = 1, n,-2 \\ \vec w & = 1, m,-p \end{aligned}$ Karena $\vec u$ dan $\vec v$ saling tegak lurus, maka $\begin{aligned} \vec u \bullet \vec v & = 0 \\ 3,-1,2 \bullet 1,n,-2 & = 0 \\ 31 + -1n+2-2 & = 0 \\ 3-n-4 & = 0 \\ n & =-1 \end{aligned}$ Ini berarti, $\vec v = 1,-1,-2$. Karena $\vec u$ dan $\vec w$ saling tegak lurus, maka $\begin{aligned} \vec u \bullet \vec w & = 0 \\ 3,-1,2 \bullet 1,m,-p & = 0 \\ 31 + -1m+2-p & = 0 \\ 3-m-2p & = 0 \\ m+2p = 3 \end{aligned}$ Karena $\vec u$ dan $\vec w$ saling tegak lurus, maka $\begin{aligned} \vec v \bullet \vec w & = 0 \\ 1,-1,-2 \bullet 1,m,-p & = 0 \\ 11 + -1m+-2-p & = 0 \\ 1-m+2p & = 0 \\-m+2p =-1 \end{aligned}$ Diperoleh SPLDV $\begin{cases} m+2p = 3 \\-m+2p=-1 \end{cases}$ yang memiliki penyelesaian $m = 2$ dan $p = \dfrac12$. Jadi, nilai $\boxed{m+n+p=2+-1+\dfrac12 = 1\dfrac12}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 33 Jika $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = 0$, $a = 3$, $b = 5$, dan $c = 7$, maka besar sudut antara $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ sama dengan $\cdots \cdot$ A. $\dfrac{\pi}{6}$ C. $\dfrac{\pi}{3}$ E. $\dfrac{2\pi}{3}$ B. $\dfrac{\pi}{4}$ D. $\dfrac{\pi}{2}$ Pembahasan Perhatikan bahwa $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = 0$ ekuivalen dengan $\vec{a} + \vec{b} = -\vec{c}$ dengan representasi gambarnya berupa segitiga sembarang sebagai berikut. Misalkan sudut yang dibentuk oleh $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ adalah $\theta$, maka dengan menggunakan aturan kosinus, diperoleh $\begin{aligned} c^2 & = a^2 + b^2-2a b \cos \theta \\ 7^2 & = 3^2+5^2-235 \cos \theta \\ 49 & = 9+25-30 \cos \theta \\ 49 & = 34-30 \cos \theta \\ 15 & = -30 \cos \theta \\ \cos \theta & = -\dfrac{15}{30} = -\dfrac12 \end{aligned}$ Diperoleh $\theta = 120^{\circ}$ atau $\theta = \dfrac{2\pi}{3}$. Jadi, besar sudut antara $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ sama dengan $\boxed{\dfrac{2\pi}{3}}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 34 Diberikan vektor $\vec{u} = a,b,c$ dan $\vec{v} = b, a, 3$. Jika $\vec {u} \cdot \vec{v} = \vec{u}^2$ dan $\vec{u}-\vec{v}^2 = 5$, maka nilai $c^3+2c+2$ yang mungkin adalah $\cdots \cdot$ A. $-2$ C. $2$ E. $14$ B. $-1$ D. $5$ Pembahasan Diketahui $\vec{u} = a,b,c~~~~\vec{v} = b, a, 3$. Karena $\vec {u} \cdot \vec{v} = \vec{u}^2$, maka berdasarkan definisi perkalian skalar vektor dan panjang vektor, diperoleh persamaan $$\begin{aligned} ab + ab + 3c & = a^2+b^2+c^2 \\ \color{blue}{a^2+b^2+c^2-2ab-3c} & = 0 \end{aligned}$$Karena $\vec{u}-\vec{v}^2 = 5$, maka kita peroleh $$\begin{aligned} a-b^2+b-a^2+c-3^2 & = 5 \\ 2a-b^2 + c-3^2 & = 5 \\ 2a^2-4ab+2b^2+c^2-6c+9 & = 5 \\ 2a^2+2b^2+c^2-4ab-6c & =-4 \\ 2\color{blue}{a^2+b^2+c^2-2ab-3c}-c^2 & =-4 \\ 20-c^2 & =-4 \\ c & = \pm 2 \end{aligned}$$Untuk $c = 2$, diperoleh $c^3+2c+2 = 2^3+22+2 = 14.$ Untuk $c=-2$, diperoleh $\begin{aligned} c^3+2c+2 & = -2^3+2-2+2 \\ & =-10. \end{aligned}$ Jadi, nilai $c$ yang mungkin adalah $\boxed{14~\text{atau}~-10}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 35 Diketahui vektor-vektor $\vec u = b\widehat{i}+a\widehat{j}+9\widehat{k}$ dan $\vec v = a\widehat{i}-b\widehat{j}+a\widehat{k}$. Sudut antara vektor $\vec u$ dan $\vec v$ adalah $\theta$ dengan $\cos \theta = \dfrac{6}{11}$. Proyeksi ortogonal $\vec u$ pada $\vec v$ adalah $\vec p = 4\widehat{i}-2\widehat{j}+4\widehat{k}$. Nilai dari $b=\cdots \cdot$ A. $\sqrt2$ D. $4$ B. $2$ E. $4\sqrt2$ C. $2\sqrt2$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} \vec u & = b, a, 9 \\ \vec v & = a,-b, a \\ \angle\vec u, \vec v & = \theta \\ \cos \theta & = \dfrac{6}{11} \\ \vec u_{\vec v} & = \vec p = 4,-2, 4 \end{aligned}$ Misalkan $n = \dfrac{\vec u \bullet \vec v} {\vec v^2}$. Dengan menggunakan rumus proyeksi ortogonal vektor, didapat $\begin{aligned} \vec u _{\vec v} & = n \cdot \vec v \\ 4,-2,4 & = na,-b, a \\ 4,-2,4 & = na,-nb, an \end{aligned}$ Dari sini, diperoleh $4=na$ dan $-2=-nb$. Kedua persamaan di atas dapat ditulis menjadi $n = \dfrac{a}{4}$ dan $n = \dfrac{2}{b}.$ Untuk itu, $\dfrac{a}{4} = \dfrac{2}{b} \Leftrightarrow a = 2b.$ Selanjutnya, dengan menggunakan aturan kosinus pada vektor, didapat $$\begin{aligned} \cos \theta & = \dfrac{\vec u \bullet \vec v}{\vec u \cdot \vec v} \\ \dfrac{6}{11} & = \dfrac{b, a, 9 \bullet a,-b, a}{\sqrt{b^2+a^2+9^2} \cdot \sqrt{a^2 + -b^2 + a^2}} \\ \dfrac{6}{11} & = \dfrac{ab- ab + 9a}{\sqrt{a^2+b^2+81} \cdot \sqrt{2a^2 + b^2}} \\ & \text{Substitusikan}~a = 2b \\ \dfrac{6}{11} & = \dfrac{92b}{\sqrt{2b^2+b^2+81} \cdot \sqrt{22b^2 +b^2}} \\ \dfrac{6}{11} & = \dfrac{18b}{\sqrt{5b^2+81} \cdot \sqrt{9b^2}} \\ \dfrac{6}{11} & = \dfrac{\cancelto{6}{18b}}{\sqrt{5b^2+81} \cdot \cancel{3b}} \\ 11 & = \sqrt{5b^2+81} \\ 121 & = 5b^2+81 \\ b^2 & = \dfrac{121-81}{5} = 8 \\ b & = 2\sqrt2 \end{aligned}$$Jadi, nilai $b$ adalah $\boxed{2\sqrt{2}}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 36 Bangun $ABCD$ berikut merupakan trapesium dengan $AE=FB$. Jika $\vec{AB} = 3\vec{i}-3\vec{j}+4\vec{k}$ dan $\vec{AD} = \vec{i}-2\vec{j}+\vec{k}$, maka $\vec{DC} = \cdots \cdot$ A. $\dfrac{4}{17}\left3\vec{i}-3\vec{j}+4\vec{k}\right$ B. $\dfrac{13}{34}\left3\vec{i}-3\vec{j}+4\vec{k}\right$ C. $\dfrac{13}{17}\left3\vec{i}-3\vec{j}+4\vec{k}\right$ D. $\dfrac{5}{11}\left3\vec{i}-3\vec{j}+4\vec{k}\right$ E. $\dfrac{2}{11}\left3\vec{i}-3\vec{j}+4\vec{k}\right$ Pembahasan Diketahui $\vec{AB} = 3, -3, 4$ dan $\vec{AD} = 1, -2, 1$. Proyeksi vektor ortogonal $\vec{AD}$ pada $\vec{AB}$ dinyatakan oleh $$\begin{aligned} \vec{AE} & = \dfrac{\vec{AD} \bullet \vec{AB}}{\vec{AB}^2} \cdot \vec{AB} \\ & = \dfrac{1, -2, 1 \bullet 3, -3, 4}{3^2+-3^2+4^2} \cdot \vec{AB} \\ & = \dfrac{1 \cdot 3 + -2 \cdot -3 + 1 \cdot 4}{9+9+16} \cdot \vec{AB} \\ & = \dfrac{13}{34} \cdot \vec{AB} \end{aligned}$$Dengan demikian, didapat $$\begin{aligned} \vec{DC} & = \vec{EF} \\ & = \vec{AB}-\vec{AE}-\vec{FB} \\ & = \vec{AB}-2\vec{AE} && \vec{AE} = \vec{FB} \\ & = \vec{AB}-2 \cdot \dfrac{13}{34} \vec{AB} \\ & = \left1-\dfrac{13}{17}\right \vec{AB} \\ & = \dfrac{4}{17}\left3\vec{i}-3\vec{j}+4\vec{k}\right \end{aligned}$$Jadi, vektor $DC$ dinyatakan oleh $\boxed{\vec{DC} = \dfrac{4}{17}\left3\vec{i}-3\vec{j}+4\vec{k}\right}$ Jawaban A [collapse] Bagian Uraian Soal Nomor 1 Diketahui $ABCDEF$ adalah segi enam beraturan dengan pusat $O.$ Jika vektor $\vec{AB} = \vec{u}$ dan $\vec{AF} = \vec{v},$ tentukan vektor-vektor di bawah ini dalam $\vec{u}$ dan $\vec{v}.$ a. $\vec{OA}$ b. $\vec{AE}$ c. $\vec{AD}$ Pembahasan Jawaban a Diketahui $\vec{AB} = \vec u$ dan $\vec{AF} = \vec v$. Dengan demikian, $\vec{OF} = -\vec{AB} = -\vec u.$ Untuk itu, $\begin{aligned} \vec{OA} & = \vec{OF} + \vec{FA} \\ & = \vec{OF}-\vec{AF} \\ & = -\vec u -\vec v \end{aligned}$ Jadi, diperoleh $\boxed{\vec{OA} = -\vec u-\vec v}$ Jawaban b Diketahui $\vec{AF} = \vec v$. Dari jawaban a di atas, diketahui juga bahwa $\vec{OA} = \vec{EF} = -\vec u-\vec v.$ Untuk itu, $\begin{aligned} \vec{AE} & = \vec{AF} + \vec{FE} \\ & = \vec{AF}-\vec{EF} \\ & = \vec v-\vec u-\vec v = 2 \vec v+\vec u \end{aligned}$ Jadi, diperoleh $\boxed{\vec{AE} = 2 \vec v+\vec u}$ Jawaban c Dari jawaban a di atas, diketahui bahwa $\vec{OA} = -\vec u- \vec v$ sehingga $\vec{AO} = \vec v+\vec u.$ Karena $\vec{AO} = \vec{OD}$ memiliki arah dan nilai yang sama, maka $\begin{aligned} \vec{AD} & = \vec{AO} + \vec{OD} \\ & = \vec{AO} + \vec{AO} \\ & = 2\vec{AO} = 2\vec v+\vec u \end{aligned}$ Jadi, diperoleh $\boxed{\vec{AD} = 2\vec v+\vec u}$ [collapse] Soal Nomor 2 Pada persegi panjang $OPQR$, diketahui $M$ titik tengah $QR$ dan $N$ titik tengah $PR$. Jika $\vec u = \vec{OP}$ dan $\vec v = \vec{OQ}$, nyatakan $\vec{MN}$ dalam $\vec u$ dan $\vec v$. Pembahasan Perhatikan sketsa gambar berikut. Diketahui $\begin{aligned} \vec{OP} & = \vec u \\ \vec{OQ} & = \vec v \end{aligned}$ Perhatikan vektor $QP$. Jumlah dari vektor $QO$ dan $OP$ sama dengan $\vec{QP}$ sehingga $\begin{aligned} \vec{QP} & = \vec{QO} + \vec{OP} \\ & =-\vec{OQ} + \vec{OP} \\ & =-\vec v + \vec u \end{aligned}$ Karena panjang $\vec{MN}$ setengah dari panjang $\vec{QP}$, maka $\boxed{\vec{MN} = \dfrac12-\vec v + \vec u}$ [collapse] Soal Nomor 3 Given vectors $\vec a = 2\widehat i-\widehat j + 2 \widehat k$ and $\vec b = 4\widehat i-x \widehat j-8 \widehat k$. If vectors $\vec a + \vec b$ is perpendicular to $\vec a$, find the unit vector which has the same direction as $\vec b$. Diberikan vektor $\vec a = 2\widehat i-\widehat j + 2 \widehat k$ and $\vec b = 4\widehat i-x \widehat j-8 \widehat k$. Jika vektor $\vec a + \vec b$ tegak lurus dengan $\vec a$, tentukan vektor satuan yang memiliki arah yang sama dengan $\vec b$. Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} \vec a & = 2,-1, 2 \\ \vec b & = 4,-x,-8 \end{aligned}$ Karena vektor $\vec a + \vec b$ tegak lurus dengan $\vec a$, maka $$\begin{aligned} \vec a + \vec b \bullet \vec a & = 0 \\ [2,-1, 2 + 4,-x,-8 \bullet 2,-1, 2 & = 0 \\ 6,-1-x,-6 \bullet 2,-1, 2 & = 0 \\ 62 + -1-x-1 + -62 & = 0 \\ \cancel{12} + 1 + x-\cancel{12} & = 0 \\ 1+x & = 0 \\ x & =-1 \end{aligned}$$Dengan demikian, vektor $b$ dinyatakan oleh $\vec b = 4,-1,-8 = 4, 1,-8.$ Untuk mencari vektor satuan yang searah dengan vektor $\vec b$, kita hanya perlu membagi tiap komponen vektor $\vec b$ dengan panjangnya. Diketahui panjang magnitude $\vec b$ adalah $\begin{aligned} \vec b & = \sqrt{4^2+1^2+-8^2} \\ & = \sqrt{16+1+64} = \sqrt{81} = 9 \end{aligned}$ Vektor satuan yang dimaksud adalah $\begin{aligned} \vec b_i & = \dfrac{\vec b}{\vec b} \\ & = \dfrac{1}{9}4, 1,-8 \\ & = \left\dfrac49, \dfrac19,-\dfrac89\right \end{aligned}$ Catatan Untuk mengecek apakah jawaban ini benar, kita hanya perlu mencari panjang vektor $\vec b_i$. Karena vektor satuan adalah vektor yang panjangnya 1, maka haruslah $\vec b_i = 1$. [collapse] Soal Nomor 4 Jika $\vec a = 10, \vec b = 6$, dan $\angle\vec a, \vec b = 60^{\circ}$, maka tentukan a. $\vec a + \vec b$; b. $\vec a-\vec b$; c. $2\vec a-\vec b$. Pembahasan Jawaban a Dengan menggunakan aturan kosinus pada vektor, didapat $$\begin{aligned} \vec a + \vec b & = \sqrt{\vec a^2+\vec b^2+2\vec a\vec b \cos \angle\vec a, \vec b} \\ & = \sqrt{10^2+6^2+2106 \cos 60^{\circ}} \\ & = \sqrt{100+36+\cancel{2}60 \dfrac{1}{\cancel{2}}} \\ & = \sqrt{196} = 14 \end{aligned}$$Jadi, panjang vektor $\vec a + \vec b$ adalah $\boxed{14}$ Jawaban b Karena $\angle\vec a, \vec b = 60^{\circ}$, maka $\angle\vec a,-\vec b = 180^{\circ}-60^{\circ} = 120^{\circ}$ sehingga dengan menggunakan aturan kosinus pada vektor, diperoleh $$\begin{aligned} \vec a-\vec b & = \sqrt{\vec a^2+-\vec b^2+2\vec a-\vec b \cos \angle\vec a,-\vec b} \\ & = \sqrt{10^2+-6^2+210-6 \cos 120^{\circ}} \\ & = \sqrt{100+36-\cancel{2}60 \left-\dfrac{1}{\cancel{2}}\right} \\ & = \sqrt{196} = 14 \end{aligned}$$Jadi, panjang vektor $\vec a-\vec b$ adalah $\boxed{14}$ Jawaban c Karena $\angle\vec a, \vec b = 60^{\circ}$, maka $\angle2\vec a,-\vec b = 180^{\circ}-60^{\circ} = 120^{\circ}$. Kelipatan skalar vektor tidak mengubah arahnya Dengan menggunakan aturan kosinus pada vektor, diperoleh $$\begin{aligned} 2\vec a-\vec b & = \sqrt{2 \vec a^2+-\vec b^2+22 \vec a-\vec b \cos \angle2 \vec a,-\vec b} \\ & = \sqrt{410^2+-6^2+2210-6 \cos 120^{\circ}} \\ & = \sqrt{400+36-\cancel{2}120 \left-\dfrac{1}{\cancel{2}}\right} \\ & = \sqrt{556} = 2\sqrt{139} \end{aligned}$$Jadi, panjang vektor $2\vec a,-\vec b$ adalah $\boxed{2\sqrt{139}}$ [collapse] Soal Nomor 5 Jika $\vec {a} = 1, \vec{b} = 9$, dan $\vec{a} \bullet \vec{b} = 5$, tentukan a. besar $\vec{a}-\vec{b}$; b. besar $2\vec{a}-3\vec{b}$. Pembahasan Jawaban a $$\begin{aligned} \vec{a}-\vec{b} & = \sqrt{\vec{a}-\vec{b}^2} \\ & = \sqrt{\vec{a} \bullet \vec{a}-2 \cdot \vec{a} \bullet \vec{b}+\vec{b} \bullet \vec{b}} \\ & = \sqrt{\vec{a}^2-2 \cdot \vec{a} \bullet \vec{b} + \vec{b}^2} \\ & = \sqrt{1^2-2 \cdot 5 + 9^2} \\ & = \sqrt{1-10+81} = \sqrt{72} = 6\sqrt2 \end{aligned}$$Jawaban b $$\begin{aligned} 2\vec{a}-3\vec{b} & = \sqrt{2\vec{a}-3\vec{b}^2} \\ & = \sqrt{4 \cdot \vec{a} \bullet \vec{a}-12 \cdot \vec{a} \bullet \vec{b}+9 \cdot \vec{b} \bullet \vec{b}} \\ & = \sqrt{4\vec{a}^2-12 \cdot \vec{a} \bullet \vec{b} + 9\vec{b}^2} \\ & = \sqrt{41^2-12 \cdot 5 + 99^2} \\ & = \sqrt{4-60+729} = \sqrt{673} \end{aligned}$$ [collapse] Soal Nomor 6 Diberikan segitiga sama sisi dengan panjang sisi $4$ satuan seperti gambar. Tentukan hasil dari $\vec{a} \bullet \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$. Pembahasan Berdasarkan prinsip penjumlahan vektor, kita tahu bahwa $\vec{a} + \vec{c} = \vec{b}$ sehingga $\begin{aligned} \vec{a} \bullet \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} & = \vec{a} \bullet \vec{b} + \vec{b} \\ & = 2\vec{a} \bullet \vec{b} \end{aligned}$ Selanjutnya, akan dicari nilai $\vec{a} \bullet \vec{b}$ menggunakan aturan kosinus pada vektor $\cos \theta = \dfrac{\vec{a} \bullet \vec{b}}{\vec{a} \cdot \vec{b}}$. Besar sudut antara dua vektor itu adalah $60^{\circ}$ karena segitiga sama sisi dan panjang vektor $a$ dan $b$ masing-masing $4$ satuan. Untuk itu, $\begin{aligned} \cos 60^{\circ} & = \dfrac{\vec{a} \bullet \vec{b}}{4 \cdot 4} \\ \dfrac12 & = \dfrac{\vec{a} \bullet \vec{b}}{9} \\ \vec{a} \bullet \vec{b} & = 8 \end{aligned}$ Dengan demikian, diperoleh $\boxed{2\vec{a} \bullet \vec{b} = 28 = 16}$ [collapse] Soal Nomor 7 Diketahui koordinat $A0,4,6,B-2,0,4$, dan $C2,2,2$. Titik $P$ terletak pada $AB$ sedemikian sehingga $AP PB = 13$. Tentukan a. Koordinat $P$; b. Proyeksi vektor $\vec{AP}$ pada $\vec{AC}$; c. Proyeksi skalar $\vec{AP}$ pada $\vec{AC}$. Pembahasan Jawaban a Titik $P$ terletak pada $AB$ sedemikian sehingga $AP PB = 13$. Untuk itu, koordinat $P$ dapat ditentukan sebagai berikut. Absis $\begin{aligned} x_P & = \dfrac{1}{1+3}1x_B + 3x_A \\ & = \dfrac141-2+30 =-\dfrac12 \end{aligned}$ Ordinat $\begin{aligned} y_P \\ & = \dfrac{1}{1+3}1y_B + 3y_A \\ & = \dfrac1410+34 = 3 \end{aligned}$ Aplikat $\begin{aligned} z_P & = \dfrac{1}{1+3}1z_B + 3z_A \\ & = \dfrac1414+36 = \dfrac{11}{2} \end{aligned}$ Jadi, koordinat $P$ adalah $\boxed{\left-\dfrac12, 3, \dfrac{11}{2}\right}$ Jawaban b Diketahui bahwa $\begin{aligned} \vec{AP} & = P- A \\ & = \left-\dfrac12, 3, \dfrac{11}{2}\right- 0, 4, 6 \\ & = \left-\dfrac12,-1,-\dfrac12\right \\ \vec{AC} & = C- A \\ & = 2,2,2-0,4,6 \\ & =2,-2,-4 \\ \vec{AC}^2 & = 2^2+-2^2+4^2 = 24 \end{aligned}$ Dengan menggunakan rumus proyeksi vektor, didapat $$\begin{aligned} \vec{AP}_{\vec{AC}} & = \dfrac{\vec{AP} \bullet \vec{AC}}{\vec{AC}^2} \cdot \vec{AC} \\ & = \dfrac{\left-\dfrac12,-1,-\dfrac12\right \bullet 2,-2,-4}{24} \cdot 2,-2, 4 \\ & = \dfrac{-1 + 2 + 2}{24} \cdot 2,-2, 4 \\ & = \left\dfrac14,-\dfrac14, \dfrac12\right \end{aligned}$$Jadi, proyeksi vektor $\vec{AP}$ pada $\vec{AC}$ adalah $\boxed{\dfrac14 \widehat i- \dfrac14 \widehat j + \dfrac12 \widehat k}$ Jawaban c Diketahui bahwa $$\begin{aligned} \vec{AP} & = P- A = \left-\dfrac12, 3, \dfrac{11}{2}\right- 0, 4, 6 = \left-\dfrac12,-1,-\dfrac12\right \\ \vec{AC} & = C- A = 2,2,2-0,4,6=2,-2,-4 \\ \vec{AC} & = \sqrt{2^2+-2^2+4^2} = \sqrt{24} = 2\sqrt6 \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus proyeksi skalar, didapat $$\begin{aligned} \vec{AP}_{\vec{AC}} & = \dfrac{\vec{AP} \bullet \vec{AC}}{\vec{AC}} \\ & = \dfrac{\left-\dfrac12,-1,-\dfrac12\right \bullet 2,-2,-4}{2\sqrt6} \\ & = \dfrac{-1 + 2 + 2}{2\sqrt6} \\ & = \dfrac{3}{2\sqrt6} \color{red}{\times \dfrac{\sqrt6}{\sqrt6}} \\ & = \dfrac{\cancel{3}\sqrt6}{2\cancelto{2}{6}} = \dfrac{1}{4}\sqrt6 \end{aligned}$$Jadi, proyeksi skalar $\vec{AP}$ pada $\vec{AC}$ adalah $\boxed{\dfrac14\sqrt{6}}$ [collapse] Soal Nomor 8 Diketahui balok $ dengan $\vec{OA} = 4, \vec{OC} = 3$, dan $\vec{OD} = 6$. Tentukan proyeksi skalar $\vec{OF}$ pada $\vec{OB}$. Pembahasan Perhatikan sketsa balok $ berikut. Karena $\vec{OA} = 4$ dan $\vec{OC} = \vec{AB} = 3$, maka dengan rumus Pythagoras, diperoleh $\begin{aligned} \vec{OB} & = \sqrt{\vec{OA}^2 + \vec{AB}^2} \\ & = \sqrt{4^2+3^2} = 5 \end{aligned}$ Misalkan $\vec{c}$ adalah proyeksi skalar $\vec{OF}$ pada $\vec{OB}$ sehingga $\vec{c} = \dfrac{\vec{OF} \bullet \vec{OB}}{\vec{OB}}.$ Misalkan juga sudut antara $\vec{OB}$ dan $\vec{OF}$ adalah $\theta$ sehingga dengan menggunakan aturan kosinus pada vektor, diperoleh $\begin{aligned} \cos \theta & = \dfrac{\vec{OF} \bullet \vec{OB}}{\vec{OF} \cdot \vec{OB}} \\ \dfrac{\vec{OB}}{\cancel{\vec{OF}}} & = \dfrac{\vec{OF} \bullet \vec{OB}}{\cancel{\vec{OF}} \cdot \vec{OB}} \\ \vec{OB}^2 & = \vec{OF} \bullet \vec{OB} \end{aligned}$ Kembali pada rumus proyeksi skalar, diperoleh $\begin{aligned} \vec{c} & = \dfrac{\vec{OF} \bullet \vec{OB}}{\vec{OB}} \\ & = \dfrac{\vec{OB}^2}{\vec{OB}} \\ & = \vec{OB} = 5 \end{aligned}$ Jadi, proyeksi skalar $\vec{OF}$ pada $\vec{OB}$ adalah $\boxed{5}$ [collapse] Soal Nomor 9 Diketahui segi empat $ABCD$ dengan titik $P$ pada $AC$ sehingga $\vec{AP} = \dfrac13 \vec{AC}$ dan titik $Q$ pada $BD$ sehingga $\vec{BQ} = \dfrac13 \vec{BD}$. Buktikan bahwa $3\vec{PQ} = 2\vec{AB}+\vec{AD}-\vec{AC}.$ Pembahasan Perhatikan sketsa gambar segi empat $ABCD$ berikut. Dari gambar, $\color{blue}{\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BD}}$. Berdasarkan aturan penjumlahan vektor, diperoleh $$\begin{aligned} \vec{PQ} & = \vec{PA} + \vec{AD}+\vec{DQ} \\ \vec{PQ} & = -\dfrac13 \vec{AC} + \vec{AD}-\dfrac23 \vec{BD} \\ \text{Kalikan}&~\text{kedua ruas dengan}~3 \\ 3\vec{PQ} & = -\vec{AC} + 3\vec{AD}-2 \vec{BD} \\ 3\vec{PQ} & = \vec{AD} + 2\vec{AD}-2\vec{BD}-\vec{AC} \\ 3\vec{PQ} & = \vec{AD} + 2\color{blue}{\vec{AB} + \vec{BD}} -2\vec{BD}-\vec{AC} \\ 3\vec{PQ} & = 2\vec{AB}+\vec{AD}-\vec{AC} \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $$3\vec{PQ} = 2\vec{AB}+\vec{AD}-\vec{AC}.$$ $\blacksquare$ [collapse]} Diketahuibahwa . Nilai n adalah 2015/2016 [Jawaban D] Selengkapnya dapat disimak pada pembahasan di bawah ini!. PENDAHULUAN. Deret Teleskopik adalah suatu deret bilangan dimana tiap sukunya saling menghilangkan satu sama lain.. Kembali ke soal, mari simak penyelesaiannya pada pembahasan di bawah ini! PEMBAHASAN. Diketahui:. Ditanya: nilai n adalah =?. Jawab

Jawaban Ada dua cara dalam membuktikan bahwa 1+1=3, 1.Redefinisi simbol-simbol matematika Saya akan menciptakan makna yang baru dari simbol-simbol matematika, jadi menurut matematika saya, elemen bilangan asli (bilangan bulat positif) diawali dengan {1, 3 , 2 ,4 , 5, 6, 7, 8, 9 } oleh karena

Jikadiketahui bahwa x = 10 − 10 1 3 + 10 2 3 − ⋯ + 40 x=10-10 \\frac{1}{3}+10 \\frac{2}{3}-\\cdots+40 x = 10 − 10 3 1 + 10 3 2 − ⋯ + 40 nilai x x x yang memenuhi adalah Jawaban jawabannya adalah E. 25

sinikau miliki soal yang perintahnya diketahui bahwa 1 min 1 per 3 dikali 1 per 4 dikali 1 min 1 per 5 dikali 1 min 1 per 6 dan seterusnya per 2015 kali 1 Min t f 2016 = n Min 2013/2016 nomor dengan Sorry nih Kecamatan 1 Min sepertiga adalah 2 per 300 per 4 adalah 3 atau 45 adalah 4 per 55 per 6 dan seterusnya sehingga ada pola di sini di mana 6 per 7 + 1 Min menjadi 2014 ini menjadi 2015-2016 sebagai yang terakhir sehingga jika kita tulis bisa menjadi seperti bentuk ini2 per 3 dikali 3 per

Namunyang membedakannya proses kecepatan belajar. pada suatu saat ada peserta didik yang belajar dalam 1-3 pertemuan. ada juga yang membutuhkan 3 pertemuan lebih untuk dapat memahami materi Dengan kata lain, Belajar tergantung kondisi dan keadaan seseorang untuk memahami materi. baik itu cuaca, suasana, perasaan dan lingkungan yang mempengaruhi.

bIcU8F.

akame20hey.pages.dev/414

akame20hey.pages.dev/341

akame20hey.pages.dev/697

akame20hey.pages.dev/862

akame20hey.pages.dev/655

akame20hey.pages.dev/413

akame20hey.pages.dev/652

akame20hey.pages.dev/517

akame20hey.pages.dev/226

akame20hey.pages.dev/216

akame20hey.pages.dev/946

akame20hey.pages.dev/142

akame20hey.pages.dev/68

akame20hey.pages.dev/935

akame20hey.pages.dev/698

diketahui bahwa 1 1 3